تشترك حركة البندول و النابض في ظهور قوة إرجاع
(Restoring Force) يتمثل عملها في إعادة الكتلة في
كل منهما إلى موضع استقرارهما كلما أزيحتا عنه و هذه القوة هي (w sinθ)
في حالة البندول و (Kx) في حالة
النابض فتجعل من حركتيهما حركتين دوريتين على غرار الحركة الدائرية المنتظمة ففي
حالة البندول نجد:
F= - w sinθ = -mg sinθ
و باعتبار θ زاوية
صغيرة جدا فان :
Θ=sinθ= x/L حيث x هي
الإزاحة L طول
البندول و g هي عجلة
الجاذبية الأرضية ، لاحظ الشكل و بالتالي يمكن كتابة العلاقة كالآتي:
F = -mg x/L = -mg/L X
و كون m, g, L ثوابت
فان
F = - Kx
حيث K= mg/L
أي أن القوه المعيدة (الإرجاع) تتناسب مع الإزاحة و بعكس اتجاهها و
هذا النوع من الحركة يسمى الحركة التوافقية البسيطة و سميت بذلك لأنها أبسط أنواع
الحركة الاهتزازية الترددية.
إن الزمن الدوري T للبندول
البسيط و الكتلة المهتزة بتأثير نابض عندما تكون السعة (Amplitude)
صغيرة جدا هو على التوالي
2л√m/K, 2л√L/g
تعريف الحركة التوافقية البسيطة:
بأنها حركة اهتزازية تكون فيها قوة الإرجاع متناسبة طرديا مع الإزاحة
الحادثة للجسم المهتز وفي اتجاه معاكس لها.
مصطلحات لوصف الحركة التوافقية البسيطة:
بأنها حركة اهتزازية تكون فيها قوة الإرجاع متناسبة طرديا مع الإزاحة
الحادثة للجسم المهتز وفي اتجاه معاكس لها.
مصطلحات لوصف الحركة التوافقية البسيطة:
موقع الاتزان: هو الموقع الذي يهتز حوله الجسم و تكون فيه قوة الإرجاع
تساوي صفرا و يسمى بموضع الاستقرار.
الاهتزازة الكاملة: هي الحركة التي يعملها الجسم المهتز ليمر بنقطة
معينة في مسار حركته مرتين متتاليتين في الاتجاه نفسه.
الإزاحة(x) : هي
المسافة بين الكتلة و موضع الاتزان في أي لحظة أثناء الاهتزاز و هي كمية متجهة
تتجه من موقع الاتزان إلى موقع الجسم.
السعةA) هي أكبر
بعد للجسم المهتز عن موقع الاتزان و هي مقدار مطلق (كمية عددية موجبة دائما)
و المدى الكلي للحركة هو .2A
الزمن الدوري (T): الزمن
اللازم لعمل ذبذبة كاملة أي أنه الزمن الفاصل بين مروريين متتاليين للجسم بنفس
النقطة وفي نفس الاتجاه.
التردد : (f)عدد
الذبذبات التي تعملها الكتلة في الثانية الواحدة ووحدته هرتز (Hz).
الإزاحة في الحركة التوافقية البسيطة (
Displacement in S.H.M )
إزاحة جسم يهتز بحركة توافقية بسيطة يمكن أن تمثل بدالة جيب أو دالة
جيب تمام و يعتمد ذلك على نقطة بداية الحركة للجسم المهتز ، نلاحظ من الشكل أن
مقدار
الإزاحة يتغير مع الزمن إذ يزداد تدريجيا حتى يصل إلى أقصى قيمة له ثم
يبدأ بعد ذلك بالتناقص حتى يرجع الجسم إلى موضع السكون.
- علاقة الحركة الدائرية المنتظمة بالإزاحة في الحركة التوافقية البسيطة:
لنفرض أنه في لحظة ما كان القائم في النقطة (p) بعد أن
دار القرص دورة مقدارها θ كما في
الشكل باتجاه معاكس لحركة عقارب الساعة،
في هذه اللحظة يكون الظل عند النقطة (p') وتكون
إزاحته عن موضع السكون هي المسافة (op')
أي أن الإزاحة الرأسية y هي:
y = op' ومن المثلث LPX نجد أن y = PX و بالتالي y = Asinθ فإذا
كانت السرعة الزاوية للقرص
تساوي ω فان θ=ωt حيث t الزمن
نجد أن
y = Asin (ωt)
ويمكننا أيضاً أن نحسب الإزاحة y بدلالة
الزمن الدوري ( T) حيث أن
الزمن الدوري للحركة التوافقية البسيطة
هو نفس الزمن الذي يحتاجه الجسم ليدور دورة كاملة (2лrad=3600) فإن :
ω=2л/T ووحدة ω هي rads-1
f=1/T
ω=2 лf
وبالتعويض في المعادلة نجد أن
y=Asin(2 лft)
- منحنيات الإزاحة والسرعة والعجلة في الحركة التوافقية البسيطة :
تغير الإزاحة مع الزمن يأخذ الشكل a وإذا
أخذنا بدء الحركة من موضع الإتزان حيث y=0 عند
الزمنt=0 يكون هذا التغير حسب العلاقة الجيبية التي هي
y=Asin(ωt)
حيث ω هو
التردد الزاوي وِِِِA هي سعة
الحركة
إن سرعة البندول تتغير مع الزمن كما في الشكل b وحسب
العلاقة
V= ωA cos (ω)
وهذه العلاقة هي المشتقة للعلاقة الأولى ونتغير العجلة مع الزمن كما
في الشكل c يأخذ
بالعلاقة
a=-ω2 Asin(ωt)
وهي المشتقة التفاضلية الأولى للعلاقة الثانية.
و الآن بعد هذه الرحلة التي تناولت فيها موضوع (الحركة التوافقية
البسيطة), يبدو من المهم التذكير بأهم النقاط التي أثارها هذا البحث المتواضع, وهي :
تعرف الحركة الاهتزازية بأنها : حركة جسم على مسار معين ثابت ، وتتكرر
بعد زمن ثابت .
الحركة التوافقية البسيطة Simple Harmonic Motion
(SHM):
يعتبر الزنبرك المثبت أحد طرفيه ومتصل بالطرف الآخر كتلة ؛ من أبسط
الأنظمة المهتزة ، وان حركة الزنبرك هي أحد الأمثلة النموذجية للحركة الاهتزازية
البسيطة ..
مفاهيم متعلقة بالحركة التوافقية :
* الدورة الكاملة ( الاهتزازة الكاملة )
Complete Oscillation:
الحركة التي يقوم بها الجسم ، بحيث يمر في النقطة نفسها مرتين
متتاليتين في الاتجاه نفسه .
* الزمن الدوري Periodoc time :
الزمن الذي يستغرقه الجسم في عمل اهتزازة كاملة أو دورة .
ويرمز له بالرمز T ووحدته
الثانية.
* التردد Frequency :
عدد الاهتزازات الكاملة التي يصنعها الجسم المهتز خلال وحدة الزمن .
ويرمز له بالرمز ( f ) ، ووحدته هيرتز ( Hz )
هناك علاقة تربط بين الزمن الدوري والتردد :
T = 1 / f
* الازاحة Displacement :
المسافة المتجهة بين موضع وبين وضع اتزانه .
* الاتساع Amplitude :
أقصى إزاحة يصنعها الجسم المهتز على أحد الجانبين .
* الطول الموجي Wave length :
الدورة الواحدة الكاملة أو الطول الموجي الواحد هي المسافة بين أي
نقطتين متتاليتين يفصلهما عن بعض زاوية مقدارها 2π = 360◦ ( المسافة
بين قاعين أو قمتين متتاليتين ) .
ولهذه الدورة زمن دوري T
• التردد الزاوي Angular Frequency :
إذا كان الجسم يتحرك حركة دورانية فإن التغير هنا زاوي وبذلك يكون
التردد له علاقة بهذه الحركة وهو يعرف بالعلاقة :
ω = 2π / T
= 2π.f
وفي حالة الزنبرك فإنه من الممكن حساب التردد الزاوي من العلاقة :
ω = k / m
حيث أن k ثابت
الزنبرك ، m مقدار الكتلة المعلقة به .
= - Aω2 sin(ω t +ф )
= - ω2 x
